Renormalização da Cromodinâmica Quântica (QCD)

Considere a teoria que descreve as interacções dos quarks com os gluões (QCD) descrita pelo Lagrangeano

$${\cal L}_{QCD}=-{1\over 4} F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu a}+ \sum_{... ..._i^{\alpha} (i D \!\!\!\! / - m_{\alpha})_{ij} \psi_j^{\alpha}$$

onde

$$\begin{eqnarray} &&F_{\mu\nu}^a=\partial_{\mu} A_{\nu}^a - \partial_{\nu} A_{\mu... ... g \left( {\lambda^a \over 2} \right)_{ij} A_{\mu}^a \ . \nonumber\end{eqnarray}$$

O índice $\alpha=1,2,\ldots,n$ referencia os diferentes sabores de quarks (up,down,...,top). Para quantificar a teoria considere a condição de gauge

$${\cal L}_{GF}=-{1 \over 2 \xi}\ \left( \partial_{\mu} A^{\mu a} \right)^2 \ ,$$

para a qual resulta o Lagrangeano dos fantasmas

$${\cal L}_{G}=\partial_{\mu}\overline{\omega}^a \partial^{\mu... ...bc} \partial ^{\mu} \overline{\omega}^a A_{\mu}^b \omega^c \ .$$

Para renormalizar a teoria necessitamos do seguinte Lagrangeano de contratermos:

$$\begin{eqnarray} \Delta {\cal L}&=&- {1 \over 4}(Z_3-1)\left( \partial_{\mu} A_{... ...\partial^{\mu} \overline{\omega}^a A_{\mu}^b \omega^c \ .\nonumber\end{eqnarray}$$

1.

Mostre que se devem verificar as relações

$$\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{Z_4}{Z_3}=\frac{Z_7}{Z_6}=\frac{\sqrt{Z_5}}{\sqrt{Z_3}}$$

2.

Calcule Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, Z₆ e Z₇ usando subtracção mínima (MS), isto é calcule só a parte divergente dos diagramas. Verifique explicitamente que Z₁ Z₆ = Z₂ Z₇.

3.

Calcule a contribuição dos fermiões para Z₄ e Z₅. Mostre que estão de acordo com as relações anteriores.