Métodos Funcionais em QED:Identidades de Ward

As identidades de Ward para QED deduzidas na secção 1.7 não têm a forma

$$J_i F_i \left[ {\partial \over i \partial J} \right]\ Z (J)=0$$

onde $\delta \phi_i=F_i [\phi]$ pois

$$S_{GF}=\int d^4x \left( -{1 \over 2 \xi}\ (\partial \cdot A)^2 \right)$$

não é invariante para transformações de gauge. Introduza o funcional

$$Z'(J_{\mu},\eta,\overline{\eta})= \int {\cal D}(A_{\mu},\psi... ..._{eff}+J^{\mu}A_{\mu}+\overline{\eta}\psi+\overline{\psi}\eta)}$$

onde

$${\cal L}_{eff}={\cal L}_{QED}+{\cal L}_{GF}+{\cal L}_G$$

e

$${\cal L}_G=-\overline{\omega}{\sqcup \! \! \! \! \sqcap}\omega\$$

onde $\omega$ e $\overline{\omega}$ são campos escalares anticomutativos.

1.

Mostre que

$$Z'(J_{\mu},\eta,\overline{\eta})={\cal N}\ Z(J_{\mu},\eta,\overline{\eta})$$

onde ${\cal N}$ não depende das fontes nem dos campos. Explique porque é que esta renormalização (infinita) não afecta o cálculo das funções de Green. Assim tanto Z como Z' servem para o cálculo destas.

2.

Mostre que a medida ${\cal D}(A_{\mu},\psi,\overline{\psi},\omega,\overline{\omega})$ e $\int d^4x {\cal L}_{eff}$ são invariantes para a transformação

$$\begin{array} {ll} \delta \psi=-i e \omega \theta \psi &\del... ...ver \xi}(\partial \cdot A) \theta &\delta \omega=0 \end{array}$$

onde $\theta$ é um parâmetro anticomutativo constante (variável de Grassman).

3.

Introduza fontes anticomutativas para os campos $\omega$ e $\overline{\omega}$, isto é

$$\overline{Z}(J_{\mu},\eta,\overline{\eta},\zeta,\overline{\z... ...e{\psi}\eta +\overline{\omega} \zeta +\overline{\zeta} \omega)}$$

Mostre que

$$\overline{Z}(J_{\mu},\eta,\overline{\eta},\zeta,\overline{\z... ...)= Z_G(\zeta,\overline{\zeta})\ Z(J_{\mu},\eta,\overline{\eta})$$

onde

$$Z(J_{\mu},\eta,\overline{\eta})= \int {\cal D}(A_{\mu},\psi,... ...}+J^{\mu}A_{\mu} +\overline{\eta}\psi+\overline{\psi}\eta)} \ .$$

Considere os funcionais $\overline{W}$, W_G e W e ainda $\overline{\Gamma}$,$\Gamma_G$ e $\Gamma$ definidos de maneira semelhante. Qual a relação entre $\overline{W}$, W_G e W e entre $\overline{\Gamma}$,$\Gamma_G$ e $\Gamma$ .

4.

Mostre que a equação de Dyson Schwinger para os campos $\omega$e $\overline{\omega}$ é

$${ \delta \overline{\Gamma}\over \delta \overline{\omega} }=-{\sqcup \! \! \! \! \sqcap}\omega \ .$$

5.

Mostre que as identidades de Ward se podem agora escrever na forma

$$J_i F_i [{\delta \over i \delta J} ]\overline{Z}=0 \ .$$

Escreva as identidades de Ward para $\overline{\Gamma}(A_{\mu},\psi,\overline{\psi},\omega,\overline{\omega})$. Mostre que conduzem aos resultados conhecidos

6.

Mostre que um termo de massa para o fotão, embora quebre a simetria de gauge, não estraga as identidades de Ward desde que os fantasmas $\omega$adquiram massa. Se o termo de massa do fotão for ${1 \over 2}\ \mu^2 A_{\mu}A^{\mu}$ qual a massa dos fantasmas?