EXAME DE ELECTROMAGNETISMO

Curso de Química -21/2/98

I ( 5 valores )

Considere uma espira de raio 2R carregada uniformemente com carga total +Q e com centro na origem conforme indicado na figura. Sobre o eixo dos zz à distância 4R da origem encontra-se uma esfera condutora com carga total -Q.

a) Determine o campo $\vec E$ no ponto P(z) sobre o semieixo positivo dos zz.

b) Calcule o potencial no ponto P(z).

c) Calcule o trabalho necessário para transportar uma carga pontual q do ponto O (z=0), até $z=+\infty$.

Fig. 1

II ( 4 valores )

Considere dois fios rectilíneos infinitos percorridos por correntes estacionárias i₁ e i₂, existentes no plano xy, conforme indicado na figura.

a) Calcule $\vec B$ em P(x,y) para i₁=i e i₂=i.

b) Calcule o fluxo $\Phi$ através da espira quadrada de lado a colocada no plano dos fios.

c) Calcule o fluxo através da mesma espira quando $i_1=i_0 \cos \omega t$ e i₂=0(ver figura).

d) Calcule a f.e.m. $\cal{E}$ induzida na espira nas condições da alínea anterior.

Fig. 2

III ( 5 valores )

Considere uma onda plana monocromática que atravessa um meio dieléctrico linear, isótropo e homogéneo com índice de refracção n=2. A frequência da onda é $f=1\ kHz$ e a direcção de propagação é $\vec n= - \vec e_x$. A onda tem polarização linear com E_y= 2 E_z. Sabe-se que a amplitude da componente segundo z é $E_0=10^{-3}\ V/m$.

a) Calcule a frequência angular $\omega$ e o vector de onda $\vec k$e escreva a expressão para a fase da onda.

b) Calcule as componentes E_x,E_y e E_z da onda.

c) Determine o campo $\vec H$ da onda.

d) Qual o valor médio do vector de Poynting?

IV ( 6 valores )

Seja um electrão no poço de potencial V=0 para 0 <x < a e $V =\infty$ para x < 0 e x > a. Como sabe, as funções próprias do operador hamiltoneano H ( i.e. da energia) são:

$$\hbox{\raise .5ex\hbox{$\chi $}}_n(x)= \sqrt{2 \over a}\ \si... ...ght) \qquad , \qquad E_n={\pi^2 \hbar^2 \over 2 m a^2}\ n^2 \ .$$

a) Suponha que o electrão no instante t=0 se encontra no estado

$$\psi(x,0)= \frac{1}{\sqrt{3}}\, \hbox{\raise .5ex\hbox{$\chi $}}_1(x) + B \hbox{\raise .5ex\hbox{$\chi $}}_4(x) .$$

onde B é uma constante real e positiva. Determine B.

b) Calcule o valor médio da energia <E> no estado $\psi(x,0)$.

c) Diga se, para t=0, a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo [0,a/2] é maior ou menor do que 1/2. Justifique a resposta.

d) Escreva o estado no instante t, $\psi(x,t)$. Qual o valor médio da energia no estado $\psi(x,t)$?

Formulário e Constantes

$$\int \sin^2(y)\ d y = \frac{y}{2} - \frac{1}{4}\sin(2y)$$

$$\int \sin(ny) \sin(my) \ d y= {1 \over 2 (m -n)}\ \sin [ y(m-n)] -{1 \over 2 (m+n)}\ \sin [ y(m+n)]\quad ; \quad m \not= n$$

$$\int \sin^2(ny) \, d y= \frac{y}{2} - \frac{1}{4n}\sin(2ny)$$

$$c=3 \times 10^8\hbox{m/s}\ ; \ \varepsilon_0=8.85 \times 10^... ...ox{H/m}\ ; \ Z_0=\sqrt{\mu_0 \over \varepsilon_0}=376.8 \Omega$$