EXAME DE ELECTROMAGNETISMO

Curso de Química -31/1/98

I ( 5 valores )

Considere um condutor neutro limitado pelas superfícies esféricas de raios R₂ e R₃. Na cavidade deste condutor encontra-se um diléctrico linear isótropo e homogéneo de constante dieléctrica $\epsilon_1$. O dieléctrico é limitado pelas superfícies esféricas de raios R₁ e R₂, conforme indicado na Fig. 1. No centro das superfcies esféricas encontra-se uma carga negativa -Q.

a) Determine $\vec E$, $\vec D$ e $\vec P$ em todo o espaço.

b) Faça um gráfico (esboço) da variação de $\vert\vec D\vert$e $\vert\vec E\vert$ em função da distância r ao centro.

c) Determine a distribuição de cargas no condutor. Verifique que a carga total no condutor se mantém nula.

d) Determine as densidades de carga de polarização no dieléctrico, $\rho'$ e $\sigma'$.

Fig. 1

II ( 4 valores )

Seja um circuito OAB com a forma dum sector circular de abertura ${\pi \over 2}$. Tem-se |OA| = |OB| = r. A resistência eléctrica do circuito é R. O circuito, sempre assente no plano Oxy, roda em torno de O com velocidade angular $\omega$. Existe um campo $\vec B$ uniforme em todo o espaço e paralelo ao eixo dos zz, $\vec B=B \vec e_z$.

a) Existe ou não corrente induzida? Justifique a resposta com base na lei da indução de Faraday ou com base na lei de Laplace.

b) Suponha agora que $\vec B$ tem o valor já indicado para x >0 e é nulo para x<0. Trace o gráfico da função i = i(t) supondo que no instante t=0 a espira se encontra na posição indicada na Fig. 2.

Fig. 2

III ( 5 valores )

Uma onda plana electromagnética propaga-se num meio não condutor ($\sigma=0$, $\mu_r=1$, $\rho=0$ e $\vec J =0$). O campo $\vec E$ é dado por:

$$\left\{ \begin{array} {ll} E_x &= c_1 E_0 \sin \left[ \omega... ..., y + \frac{1}{\sqrt{2}}\, z \right) \right]\end{array}\right.$$

Sabe-se que a frequência é $f=1\ kHz$, o índice de refracção do meio é n=1.5 e $E_0=10^{-2}\ V/m$.

a) Qual a direcção de propagação da onda?

b) Determine c₂ de forma a que as expressões correspondam de facto a uma onda plana electromagnética.

c) Determinar c₁ de forma a que a polarização seja circular esquerda.

d) Escreva as componentes do campo magnético $\vec H$.

IV ( 6 valores )

Seja um electrão no poço de potencial V=0 para 0 <x < a e $V =\infty$ para x < 0 e x > a. Como sabe, as funções próprias do operador hamiltoneano H ( i.e. da energia) são:

$$\hbox{\raise .5ex\hbox{$\chi $}}_n(x)= \sqrt{2 \over a}\ \si... ...ght) \qquad , \qquad E_n={\pi^2 \hbar^2 \over 2 m a^2}\ n^2 \ .$$

a) Suponha que o electrão no instante t=0 se encontra no estado

$$\psi(x,0)= A\ \hbox{\raise .5ex\hbox{$\chi $}}_1(x) + B\ \hbox{\raise .5ex\hbox{$\chi $}}_2(x) .$$

onde A e B são constantes reais. Sabe-se que uma medida da energia do sistema dá o valor E₂ com probabilidade 1/2. Determine |A| e |B|.

b) Sabendo que a constante A é positiva e que no instante t=0 a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo [0,a/2] é menor que a probabilidade de a encontrar no intervalo [a/2,a], determine o sinal da constante B. Nota: Se pensar um pouco não precisa de fazer contas.

c) Determine os valores de x para os quais a densidade de probabilidade $P(x)=\vert\psi(x,0)\vert^2$ se anula. Nota: Se não determinou o sinal de B na alínea anterior use um sinal à sua escolha.

d) Que acontece para t>0 aos pontos onde P(x,t) se anula, mantém-se ou variam? Justifique a resposta.

Formulário e Constantes

$$\int \sin^2(y)\ d y = {1\over 2} y -{1\over 4} \sin(2y)$$

$$\int \sin(ny) \sin(my) \ d y= {1 \over 2 (m -n)}\ \sin [ y(m-n)] -{1 \over 2 (m+n)}\ \sin [ y(m+n)]\quad ; \quad m \not= n$$

$$\sin (2 y)=2 \sin (y) \cos (y) \ ; \ \cos (2 y)=\cos^2 (y) -\sin^2 (y)=2 \cos^2 (y) -1$$

$$c=3 \times 10^8\hbox{m/s}\ ; \ \varepsilon_0=8.85 \times 10^... ...ox{H/m}\ ; \ Z_0=\sqrt{\mu_0 \over \varepsilon_0}=376.8 \Omega$$